알기 쉽게 풀어쓴 선형대수 기초 및 응용

직관적 비유와 예시를 통해 추상적인 정의와 엄밀한 증명도 쉽게 풀어서 설명하였다. 복잡한 내용을 그림과 도표를 통하여 시각적으로 풀어 서술함으로써 선형대수학을 처음 접하는 독자들도 쉽게 이해할 수 있도록 하였다. 각 단원의 예제들은 단순 계산 문제에서부터 실제 공학적 상황을 반영한 문제까지 고르게 배치하여 풀이 과정을 상세히 담았다.





본문 곳곳에는 앞서 다룬 개념을 다시 정리하거나 자주 혼동되는 부분을 간단히 짚어 주는 ‘여기서 잠깐!’ 코너를 마련하였다. 각 단원 끝에는 기본 개념 확인 문제부터 창의적 사고를 요구하는 심화 문제까지 난이도를 조절해 구성하였으며, 모든 문제의 정답은 부록에 수록되어 있다.



공학을 전공하는 많은 학생은 선형대수학을 처음 접할 때, 예상보다 훨씬 어렵다는 인상을 받는다. 선형대수학이 유독 어렵게 다가오는 이유는 다음과 같이 정리할 수 있다.



① 추상적인 개념과 형식적 정의의 낯섦

선형대수학은 벡터와 행렬을 주로 다루지만, 그 바탕에는 논리적으로 정의된 수학적 구조가 숨어 있다. 처음 배우는 학생들에게는 이러한 추상적인 구조가 낯설고 어렵게 느껴질 수밖에 없다.



② 쏟아지는 새로운 용어들

선형대수학에서는 처음부터 다양한 정의와 용어가 한꺼번에 등장한다. 익숙하지 않은 용어를 따라가다 보면 개념 사이의 미세한 차이를 놓치기도 하고, 마치 새로운 언어를 배우는 것처럼 초심자에게 큰 부담이 된다.



③ 기존 지식과의 연결 부족

미적분학에서는 수치 계산과 그래프 해석을 통해 직관을 얻을 수 있었지만, 선형대수학에는 그런 ‘감각적 지지대’가 거의 없다. 고교 수학에서 다루지 않았던 개념들이 중심을 이루다 보니, 자연스럽게 이질감이 생긴다.



④ 실제 응용에 대한 체감 부족

“이게 실제로 어디에 쓰이죠?” 많은 학생이 자주 묻는 질문이다. 강의에서는 이론과 증명 위주로 진행되지만, 정작 그 실제 응용이 보이지 않을 때 학습 동기는 빠르게 떨어진다.



이러한 어려움에도 선형대수학은 자연과학, 공학, 경제 등 거의 모든 분야에서 널리 사용되는 매우 핵심적인 수학이다. 특히 인공지능이나 머신러닝, 컴퓨터 그래픽스나 데이터 과학, 통신공학에서도 선형대수학은 선택이 아닌 필수이다.





이 책의 특징



① 알기 쉽게 시각적으로 풀어쓴 개념 설명

추상적인 정의와 엄밀한 증명도 직관적 비유와 예시를 통해 쉽게 풀어서 설명하였다. 복잡한 내용을 그림과 도표를 통하여 시각적으로 풀어 서술함으로써 선형대수학을 처음 접하는 독자들도 쉽게 이해할 수 있도록 하였다.

② 풍부한 예제와 실제 응용

각 단원의 예제들은 단순 계산 문제에서부터 실제 공학적 상황을 반영한 문제까지 고르게 배치하여 풀이 과정을 상세히 담았다. 이러한 예제들을 통해 추상적인 이론이 실제 공학 문제 해결에 어떤 역할을 하는지 체감하도록 구성하였다.

③ ‘여기서 잠깐!’으로 숨 고르기

학습 과정에서 특히 막히기 쉬운 지점을 정확히 짚어 주기 위해 본문 곳곳에 도움 코너를 마련하였다. 앞서 다룬 개념을 다시 정리하거나 자주 혼동되는 부분을 간단히 짚어 주는 ‘여기서 잠깐!’ 코너는 독자가 자연스럽게 다음 단계로 넘어갈 수 있도록 돕는 역할을 한다.

④ 난이도별 연습문제

각 단원 끝에는 기본 개념 확인 문제부터 창의적 사고를 요구하는 심화 문제까지 난이도를 조절해 구성하였다. 모든 문제의 정답은 부록에 수록되어 있다.





이 책의 내용



1장에서는 행렬을 정의하고 행렬에 대한 기본 연산인 덧셈, 스칼라곱, 곱셈에 대하여 소개한다. 또한 기본 연산에 대한 대수적인 성질과 공학적 응용에 많이 나타나는 특수한 행렬에 대해서도 학습한다. 그리고 선형연립방정식의 해를 구하기 위한 기초적인 도구로서 행렬식과 역행렬을 정의하고 이와 관련된 여러 가지 중요한 성질에 대하여 학습한다. 마지막으로 행렬과 행렬식이 공학 문제를 해결하는데 어떻게 활용될 수 있는가에 대하여 몇 가지 응용 예를 살펴본다.

2장에서는 주어진 선형연립방정식의 해를 구하는 기본적이고 필수적인 여러 가지 해법에 대해 다룬다. 먼저, 선형연립방정식의 해를 구하는 가장 대표적인 Gauss 소거법과 Gauss-Jordan 소거법에 대하여 소개하고 이를 위한 사전 지식으로써 기본행연산의 개념에 대해서도 학습한다. 또한, 선형연립방정식의 계수행렬의 역행렬을 이용하여 해를 구하는 방법과 행렬식 계산만으로 해를 구할 수 있는 Cramer 규칙도 추가적으로 학습한다. 마지막으로 규모가 큰 선형연립방정식의 계수행렬을 하삼각행렬과 상삼각행렬의 곱으로 분해함으로써 해를 수치적 방법으로 구할 수 있는 LU-분해 알고리즘의 개념과 해를 구하는 과정에 대해서도 다룬다.

3장에서는 위치벡터에 대한 개념과 수학적 표현을 소개하고, 벡터의 기본 연산인 벡터 덧셈과 스칼라곱에 대하여 다룬다. 또한, 벡터 간의 곱셈에 해당되는 벡터의 내적 및 외적을 정의하고 중요한 대수적 성질들에 대해 학습한다. 마지막으로 기하학적인 위치벡터를 추상적으로 확장한 유클리드 벡터공간을 구체화하여 다양한 공학 문제에 활용되는 몇 가지 응용 예를 살펴본다.

4장에서는 기하학적인 측면에서 해석적인 측면으로 확장한 벡터의 개념을 벡터의 대수적인 성질을 공리로 하여 다시 한번 확장한 일반 벡터공간에 대하여 다룬다. 먼저 벡터공간과 부분공간의 정의와 벡터의 선형결합과 생성에 대하여 살펴보고, 선형종속과 선형독립의 개념을 기하학적인 해석과 함께 설명한다. 선형독립과 생성의 개념으로부터 벡터공간의 기저와 차원을 소개하고 기저의 변경에 대해서도 학습한다. 다음으로 선형연립방정식을 해와 밀접한 관련이 있는 행공간과 열공간, 그리고 영공간의 개념을 소개하고 랭크와 무효차수에 대하여 설명한다. 마지막으로 일반 벡터공간의 개념을 이용한 몇 가지 공학적인 응용에 대하여 소개한다.

5장에서는 벡터공간 사이에 정의된 변환이 벡터공간의 구조를 보존하는 선형변환에 대하여 살펴보고 이와 관련된 여러 가지 성질들을 소개한다. 선형변환에서 핵과 치역을 정의하고 단사와 전사의 개념에 대해서도 살펴본다. 또한 두 개 이상의 선형변환을 순차적으로 적용하여 하나의 새로운 변환으로 결합한 합성변환과 역변환에 대해서도 다룬다. 마지막으로 행렬변환과 성질을 소개하고, 이를 확장하여 일반 벡터공간에서 정의되는 선형변환을 특정 기저에 대한 대표행렬로 표현하는 방법을 제시한다. 이로부터 기저가 달라지는 경우, 선형변환의 대표행렬들 사이의 관계를 유사변환으로부터 살펴본다.

6장에서는 주어진 정방행렬을 보다 단순한 형태인 대각행렬로 변환하는 대각화 개념과 방법에 대하여 학습한다. 이를 통하여 복잡한 행렬의 거듭제곱, 선형변환의 해석 등을 효율적으로 수행할 수 있게 된다. 먼저, 행렬의 대각화 가능 여부를 판별하기 위하여 고유값과 고유벡터의 개념을 도입하고 이와 관련된 여러 가지 중요한 성질들을 소개한다. 또한 행렬의 대각화 과정에서 중요한 개념인 유사행렬에 대하여 살펴보고 유사행렬들의 여러 가지 불변 성질에 대하여 학습한다. 마지막으로 실수로 구성된 대칭행렬은 항상 정규직교 고유벡터로 구성되는 유사변환으로부터 직교대각화가 가능하다는 것을 설명하고, 이로부터 파생된 스펙트럼 분해의 개념과 응용에 대해 소개한다.

7장에서는 내적공간의 정의와 성질을 바탕으로 직교성, 정규직교기저, 직교투영 등을 체계적으로 다룬다. 내적을 통해 벡터의 놈과 각도, 거리를 정의하고 이를 통해 직교성의 개념을 학습하며, 정규직교기저를 이용한 효율적인 벡터 표현 방법을 소개한다. 또한, 벡터를 부분공간으로 투영하는 직교투영의 개념으로부터 임의의 기저를 정규직교기저로 변환하는 Gram-Schmidt 과정을 다루고, 이를 이용한 행렬의 QR-분해도 함께 학습한다. 마지막으로 직교투영을 활용한 최적근사로부터 선형연립방정식의 최소제곱해를 구하는 방법을 제시한다.

8장에서는 2차형식의 개념과 성질을 중심으로 이를 이해하고 해석하는 데 필요한 기초 이론을 다룬다. 먼저 2차형식의 행렬 표현과 직교변수변환을 통해 2차형식을 대각행렬로 단순화하는 주축 정리에 대하여 학습한다. 다음으로 2차형식의 부호를 정의하고, 고유값과 주대각 소행렬식을 이용하여 2차형식의 부호를 판별하는 방법을 소개한다. 또한, 유클리드 벡터공간을 복소벡터공간으로 일반화하고, 복소 유클리드 내적과 여러 가지 중요한 성질 등에 대하여 학습한다. 마지막으로 특수한 복소행렬인 에르미트행렬과 유니터리행렬을 정의하고, 이 행렬들의 고유값과 고유벡터들에 관련된 중요한 성질을 다룬다.